Question

高数：求（sinx)^x在x趋向于0时的极限

Answer 1

解：

sinx 与 x 是等价无穷小。
（sinx)^x在x趋向于0时的极限=(x)^x在x趋向于0时的极限

这是未定式0^0.
设y=x^x,取对数得，lny=xlnx，
所以 lny=（lnx）/（1/x），
根据洛必达法则，limlny=lim[(lnx)/(1/x)]
=lim[(1/x)/(-1/x^2)]=lim(-x)=0 (当x→0时).
因为 y=e^lny,而lim y=lim e^lny=e^lim lny(当x→0时),
所以 lim x^x=lim y=e^0=1.

Answer 2

解答：
lim (sinx)^x
x→0
=lim e^[ln(sinx)^x]
x→0
=lim e^[xln(sinx)] [幂是0×∞型不定式]
x→0
=lim e^[(lnsinx)/(1/x)] [幂是∞/∞型不定式]
x→0
=lim e^[cotx/(-1/x²)] [引用了罗毕达方法]
x→0
=lim e^[-x²/tanx] [幂是0/0型不定式]
x→0
=lim e^[-x] [运用了等价无穷小]
x→0
=e^0
=1