Question

过抛物线y^2=4x的焦点F作斜率为K的直线l,交抛物线于A,B两点，若线段AB的长不超过8，求K的取值范围

Answer 1

焦点(1,0)
所以y=k(x-1)=kx-k
代入
k²x²-2k²x+k²=4x
k²x²-(2k²+4)x+k²=0
x1+x2=(2k²+4)/k²

准线x=-1
则A到准线距离=x1-(-1)=x1+1
B到准线距离=x2-(-1)=x2+1
由抛物线定义
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以AB=AF+BF
=A到准线距离+B到准线距离
=x1+1+x2+1
=x1+x2+2
=(2k²+4)/k²+2
AB<=8
(2k²+4)/k²+2<=8
(2k²+4)/k²<=6
2k²+4<=6k²
k²>=1
所以k<=-1,k>=1

Answer 2

F坐标：(1,0)
l方程：y=k(x-1)
代人y^2=4x得：
k^2(x-1)^2=4x
k^2x^2-(2k^2-4)x+k^2=0
x1+x2=(2k^2-4)/k^2,x1x2=1
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=16(1-k^2)/k^4
|AB|=√(1-k^2)(x1-x2)^2=4|1-k^2|/k^2≤8
|1-k^2|≤2k^2
k≥√3/3