Question

【高二数学】双曲线和椭圆综合题目》》》

若双曲线的顶点为椭圆x^2+y^2/2=1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是什么？

写出完整过程和答案就可以了，谢谢！

Answer 1

双曲线的顶点为椭圆x^2+y^2/2=1长轴的端点
则实轴在y轴上，a^2=2,a=√2
椭圆:c^2=2-1=1,c=1,离心率=c/a=1/√2
双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,所以，双曲线离心率=√2
所以，双曲线c=ae=√2*√2=2
b^2=c^2-a^2=4-2=2
所以，双曲线方程：y^2/2-x^2/2=1

Answer 2

因为e椭圆=根号2
所以e双=根号2除以2
又x=0时y=1或-1(椭圆的长轴在y轴)
故双为y^2-2*x^2=1

Answer 3

椭圆的离心率为1/√2
则此双曲线的离心离为√2
又因为双曲线的顶点为椭圆x^2+y^2/2=1长轴的端点，所以双曲线的顶点坐标为（0，±√2）
c/a=c/√2=√2 所以c=2
此双曲线方程为
y^2/2-x^2/2=1

Answer 4

解：由题意，可设双曲线方程为：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.易知，椭圆的离心率为1/(√2).且其长轴的端点为(0,√2),(0,-√2).故双曲线离心率为√2，即c^2=2a^2,===>c=√2a=√2b.且可知a=√2,===>a=b=√2,==》双曲线方程为：y^2-x^2=2.