Question

∫sin^2x/xdx

求其不定积分

Answer 1

这是一个超越积分(通常也称为不可积),也就是说这个积分的原函数不能用我们所学的任何一种函数来表示.但如果引入新的函数erf(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt,那么该函数的积分就可表示为erf(x)+c.
道理很简单,比如∫x^ndx,一般的该积分为1/(n+1)x^(n+1),如果不引入lnx,那么∫1/xdx就不可积了.因此对于一些积分,如果不引入新的函数,那么那些积分就有可能不可积,而且这种情况还会经常遇到.因此对于一些常见的超越积分,一般都定义了相关的新函数.
下面就介绍几个常见的超越积分(不可积积分)
1.∫e^(ax^2)dx(a≠0)
2.∫(sinx)/xdx
3.∫(cosx)/xdx
4.∫sin(x^2)dx
5.∫cos(x^2)dx
6.∫x^n/lnxdx(n≠-1)
7.∫lnx/(x+a)dx(a≠0)
8.∫(sinx)^zdx(z不是整数)
9.∫dx/√(x^4+a)(a≠0)
10.∫√(1+k(sinx)^2)dx(k≠0,k≠-1)
11.∫dx/√(1+k(sinx)^2)(k≠0,k≠-1)
以后凡是看到以上形式的积分,我劝你不要继续尝试,因为以上积分都已经被证明了为不可积积分.但是要注意的是,虽然以上积分的原函数不是初等函数,但并不意味着他们的定积分不可求,对于某些特殊点位置的定积分还是有可能算出来的,只不过不能用牛顿-莱布尼茨公式罢了!
比如∫[0,+∞)e^(-x^2)dx=√π/2,此处的积分值就是用二重积分和极限夹逼的方法得出的,而且只能算出(-∞,+∞)或是(0,+∞)上的值,其他的值只能用数值方法算出近似值.
再如∫[0,+∞)(sinx)/xdx=π/2,此处就是用留数理论得出的

Answer 2

分部积分：原式=积分sin^2x d lnx
=sin^2xlnx-积分lnx d sin^2x
后半部=积分lnx+2sinxcosx dx 2sinxcosx=sin2x
=-1/2积分lnx d cos2x
再次分部积分
=-1/2lnxcos2x+1/2积分cos2x d lnx cos2x=1-2sin^2x
后半部=1/2积分(1-sin^2x)/x dx
=1/2lnx-积分sin^2x /x dx
后半部即为原式
全部代回，原式=
1/2sin^2xlnx+1/4lnxcos2x-1/4lnx

Answer 3

sin^2x=(1-cos2x)/2,
所以所求积分可以归结为
求函数cosx/x的不定积分，
而此不定积分是无法用初等函数表示的。

函数sinx/x的原函数也是一样。
若一定要求，可以将cosx或sinx在某点附近用泰勒公式展开来求。