Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点（-2，0）、（x1，0）

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方。下列结论：①4a-2b+c=0 ②a＜b＜0 ③2a+c＞0 ④2a-b+1＞0
其中正确的是（ ）（填序号）

要答案以及每个选项的正误分析

能针对题做出总结（思路、方法）的优先选择为最佳答案

Answer 1

　　解：①根据题意画大致图象如图所示，
　　由y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标为（-2，0）得：
　　a×（-2）2+b×（-2 ）+c=0，即4a-2b+c=0，
　　所以正确；
　　②由图象开口向下知a＜0，
　　由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
　　则该抛物线的对称轴为x＝−
　　b
　　2a
　　＝
　　(−2)+x1
　　2
　　＞−
　　1
　　2
　　，即
　　b
　　a
　　＜1，
　　由a＜0，两边都乘以a得：b＞a，
　　∵a＜0，对称轴x=-
　　b
　　2a
　　＜0，
　　∴b＜0，
　　∴a＜b＜0．故正确；
　　③由一元二次方程根与系数的关系知x1．x2＝
　　c
　　a
　　＜−2，结合a＜0得2a+c＞0，所以结论正确，
　　④由4a-2b+c=0得2a−b＝−
　　c
　　2
　　，而0＜c＜2，∴−1＜−
　　c
　　2
　　＜0∴-1＜2a-b＜0∴2a-b+1＞0，

Answer 2

1. 函数y=f（x）通过 （-2，0）， f（-2）=4a-2b+c=0
2. 函数与x轴交于-2， x1 两点，与y正半轴相交，且交点x=0在-2，1之间，所以开口向下，a＜0
又对称轴x=-b/2a 在（-2+1）/2和（-2+2）/2之间 所以 -1/2＜-b/2a＜0 即 a＜b＜0
3. f（-2）=4a-2b+c=0
又函数开口向下， 1＜x1＜2， f（1）=a+b+c＞0 2a+2b+2c＞0 和上式联立得 2a+c＞0
4. 由于函数与y轴交于正半轴且在（0，2） 下方，f（0）=c＜2 c=2b-4a＜2 即 2a-b+1＞0
由以上可知正确结论个数四个由f（1）=a+b+c＞0 不等式两边同乘以2 得 2a+2b+2c＞0由f（-2）=4a-2b+c=0 得 c=2b-4a

2a+2b+2c＞0和4a-2b+c=0 两式相加即可得出 2a+c＞0