Question

有“一阶微分形式不变性”，那么有“二阶微分形式不变性”吗？

或者说有所谓的“二阶微分”吗？
谢谢三楼！我昨天又看了一下书，发现我本来想问的问题表达不准确，我本来想问的是“一阶全微分形式不变性”，那么“二阶全微分”有形式不变性吗？ 是全微分。。多元函数的。。（形式不变性是指无论是对中间变量还是对最终变量求全微分，全微分公式都不变）麻烦大家再帮忙解答一下，为弥补我的失误，再给大家+50分。。谢谢！（一阶全微分是dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy）

我在纸上试过y=u²，u=sinx的一元情况和y=uv，u=sinxy，v=cosxy的二元情况，求二阶微分，都是形式不变的。。三楼能否举出一个反例？

Answer 1

无语...
d(dy/dx)除法微分怎么等于ddy/dx了?
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存在二阶微分
二阶微分形式一般不具有不变性.
LZ可以举几个例子验证,

简单的说,微分算子d作用于一个变量,作用几次就是几阶微分.dy是y的一阶微分,d(dy)=d²y是y的二阶微分,注意!!!此处的d²y和二阶导中的d²y意义完全不同,形式上也不能互换!

微分算子d有它的运算法则,d(y+z)=dy+dz,
d(y*z)=ydz+zdy等等,LZ可以查书.
例子:如果dy=y'dx
那么由乘积的微分运算
d(dy)=d(y'dx)=d(y')*dx+y'*d(dx)
d²y=dy'*dx+y'*d²x
再次强调,此处的d²和求二次导的d²完全不同

顺便说下求导算子(d/dx),它作用于函数,作用几次就是对函数求几次关于x的导数.比如
(d/dx)y=dy/dx是y对x的一阶导数
(d/dx)(d/dx)y=d²y/dx²是y对x的二阶导数,注意这个算子是一个整体,没有除法的意思.
所谓的一阶微分形式不变,就是说把微分算子d,形式上和求导算子里面的d等价起来,把短线形式地和分数线等价,最后的结果总是对的.
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多元情况和一元本质上是相同的
高阶微分形式 一般 没有不变性
举个例子，z=sin(xy)
dz=cos(xy)*(xdy+ydx)
ddz=-sin(xy)*(xdy+ydx)²+cos(xy)*(xd²y+yd²x+2dxdy)
d²z=-sin(xy)*(x²dy²+y²dx²+2xydxdy)+cos(xy)*(xd²y+yd²x+2dxdy)
这是z的二阶微分形式
如果x,y是关于u,v的中间变量，则把x,y的一阶微分dx,dy,和二阶微分d²x,d²y的表达式往上式代，最后得到的关于u,v的表达式会上式多出了几项。
造成这种现象的根源还是在微分算子和求导（偏导）算子的意义不同.

Answer 2

楼上打错啦。d^2y/dx^2。原因是二阶微分就是d(dy/dx)/dx=ddy/dx^2最主要的，DY,DX都是表示很小的数，所以可以加减乘除运算的

Answer 3

一般的表达式为：d^2y*dx^2