Question

帮忙做道高数题！！！！！导数与微积分的

y’=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-x^2),y(1)=-1，求y

Answer 1

令y=tx（当然这个t是关于x的函数）
那么y'=t'x+t,原式变为：
t'x+t=【(tx）^2-2x*tx-x^2)】/【(tx)^2+2x*tx-x^2)】
t'x+t=(t^2-2t-1）/(t^2+2t-1)
t'x=-(t^3+t^2+t+1)/(t^2+2t-1)
下面是换成微分的形式，运用t'=dt/dx，得到：
一、当t不等于-1时；
【-(t^2+2t-1)/（t^3+t^2+t+1)】dt=【1/x】dx
两边分别积分：
注意到-(t^2+2t-1)/（t^3+t^2+t+1)=1/(t+1)-2t/(t^2+1)
所以积分得到ln|t+1|-ln|t^2+1|=ln|x|+C (C为常数)
化简得到|(t+1)/(t^2+1)|=e^C * |x|
脱去绝对值符号后得到 (t+1)/(t^2+1)=正负e^C * x
(t+1)/(t^2+1)=cx(c为非0常数，注意这里的c与C不通)
即x+y=c(x^2+y^2) (c为非0常数） 1式
二、等t=-1时，左边t'x=0，右边-(t^3+t^2+t+1)/(t^2+2t-1)=0
这说明t=-1是方程的特解，即x+y=0 2式

综合1式和2式我们得到最终的通解为：
将y=tx代入得到：
x+y=c‘(x^2+y^2) （c’为常数） 3式
因为y(1)=-1
所以1+（-1）=c‘（1^2+(-1)^2）
c’=0
把c‘=0代入到3式中得到原题答案为：
y=-x

Answer 2

楼上算出y=-x,代入原来式子，算是符合条件的，奇怪。难道说C可以是虚数？也许吧

dy/dx =(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-x^2)
=[(y/x)^2-2(y/x)-1]/[(y/x)^2+2(y/x)-1]
令u=y/x ,则y=ux,dy/dx=u +x du/dx
原方程就是
u +x du/dx=(u^2-2u-1)/(u^2+2u-1)
x du/dx=-(u^3+u^2+u+1)/(u^2+2u-1)
-(u^2+2u-1)/[(u^2+1)(u+1)] du=1/x dx
[-2u/(u^2+1) +1/(u+1)] du=1/x dx
-1/(u^2+1)d(u^2+1) +1/(u+1) d(u+1)=1/x dx
-ln(u^2+1) +ln｜u+1｜=ln｜x｜+c
-ln(y^2/x^2 +1) +ln｜y/x +1｜=ln｜x｜ +c
｜y/x +1｜/（y^2/x^2+1)=｜x｜e^c (上式中y/x+1等于0无意义，所以最好写成指数式）
把（1，-1）代入 ，e^c=0 c不存在

Answer 3

我提示一下接替思路吧
y'=dy/dx
令p=y/x 那么y=px
dy=pdx+xdp
所以dy/dx=p+xdp/dx
(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-x^2)=（p^2-2p-2）/（p^2+2p-2）
这是一个可以分离变量的微分方程
解出p，进而解出y，由初始条件确定积分常数

Answer 4

求积分就行了