Question

帮忙解答下高一的几个数学问题（尽量写下过程）

<1>式子sin^4θ+cos^2θ+sin^2θcos^2θ 的结果______

<2>若f(cosx)=cos2x,则f(sin π/6)=______

<3>已知f(x)按下列条件给出，满足f(f(x))＞f(3)的x的值为______
x=1,f(x)=2; x=2,f(x)=3; x=3,f(x)=1.

<4>已知tanx=2
(1)求 2/3sin^2x+1/4cos^2x 的值
(2)求 2sin^2x-sinxcosx+cos^2x 的值

<5>如下图半径为2的园内接等腰梯形ABCD，他的下底AB是圆O的直径，上底CD端点在圆周上。
(1)写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域
(2)求出周长y的最大值及相应x的值

尽量写下过程，尽量能让我看懂。

Answer 1

<1>式子sin^4θ+cos^2θ+sin^2θcos^2θ 的结果______
=(1-cos^2θ)^2+cos^2θ+sin^2θcos^2θ
=1+cos^4θ-2cos^2θ +cos^2θ+sin^2θcos^2θ
=sin^2θ+cos^4θ+sin^2θcos^2θ
=sin^2θ-sin^4θ-sin^2θcos^2θ +1
=sin^2θ(1-cos^2θ)-sin^4θ+1=1
<2>若f(cosx)=cos2x,则f(sin π/6)=______
=f(sin(π/2-π/3))=f(cosπ/3)=cos2π/3
=-cosπ/3=-1/2

<3>已知f(x)按下列条件给出，满足f(f(x))＞f(3)的x的值为______
x=1,f(x)=2; x=2,f(x)=3; x=3,f(x)=1.
f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1,f((fx))>f(3)=1
因为f(f(2))=1,f(f3))=2,f(f(1))=3，故x不等于1

<4>已知tanx=2
(1)求 2/3sin^2x+1/4cos^2x 的值
(2)求 2sin^2x-sinxcosx+cos^2x 的值
(1) =(2/3)tan^2x/(1+tan^2x)+(1/4)/(1+tan^2x)
=(2/3)*4/(1+4)+(1/4)/(1+4)
=8/15+1/20=32/60+3/60=35/60=7/10
(2) 8/5-2/5+1/5=7/5

<5>如下图半径为2的园内接等腰梯形ABCD，他的下底AB是圆O的直径，上底CD端点在圆周上。
(1)写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域
(2)求出周长y的最大值及相应x的值
(1) 连结OC,OD,作OE垂直于CD于E,令OA=r
x最大值=√2r,故 0<x<=√2r
y=2x+4r-x^2/r
方法一，令∠COB=a，则2rcosa=CD,x=√[r^2(1-cosa)^2+sin^2a]
=2rsina/2
y=2r+2rcosa+4rsina/2
=2r+2r(1-sin^2a/2)+4rsina/2
在将sina/2=x/(2r)带回即可
方法二
CD=y-2r-2x..................................1)
x^2-[(2r-CD)/2]^2=OE^2......................2)
(CD/2)^2+OE^2=r^2...........................3)
解这个方程组就可以得到y于x的关系式
(2) 设∠COB=a
可以得到：y=4rsina/2+2r+2rcosa
=5r-(sina/2-1/2)^2
故ymax=5r,此时，a=60度
x=√[r^2(1-cosa)^2+sin^2a]
=2rsina/2=2rsin30度=r