Question

已知函数y=2cos2x-sinx+b,x属于【3π/4，3π/2】的最大值为9/8，求最小值

Answer 1

(cosx)^2=1-(sinx)^2
所以y=-2(sinx)^2-sinx+2+b
令a=sinx
x∈[3/4π，3/2π]
因为sinx在[1/2π，3/2π]是减函数
所以x=3/2π，a最小=-1
x=3/4π，a最大=√2/2

y=-2a^2-a+2+b=-2(a+1/4)^2+17/8+b
开口向下，对称轴a=-1/4
-1<=a<=√2/2
所以a=-1/4,y最大=17/8+b=9/8
b=-1
y=-2a^2-a+1
因为√2/2比-1离对称轴更远
所以a=√2/2时y最小值=-2*(√2/2)^2-√2/2+1=-√2/2

参考:

y=2cos2x-sinx+b
=2*(1-sin^2x)-sinx+b
=-2sin^2x-sinx+2+b
=-2(sinx+1/4)^2+2+b+2*1/16
=-2(sinx+1/4)^2+b+17/8
最大值=b+17/8=9/8
b=-1
y=-2(sinx+1/4)^2+9/8
3π/4≤x≤3π/2
x=3π/4,sinx最大值=1/√2
y最小值=-2(1/√2+1/4)^2+9/8=-√2/2

Answer 2

(cosx)^2=1-(sinx)^2
所以y=-2(sinx)^2-sinx+2+b
令a=sinx
x∈[3/4π，3/2π]
因为sinx在[1/2π，3/2π]是减函数
所以x=3/2π，a最小=-1
x=3/4π，a最大=√2/2
y=-2a^2-a+2+b=-2(a+1/4)^2+17/8+b
开口向下，对称轴a=-1/4
-1<=a<=√2/2
所以a=-1/4,y最大=17/8+b=9/8
b=-1
y=-2a^2-a+1
因为√2/2比-1离对称轴更远
所以a=√2/2时y最小值=-2*(√2/2)^2-√2/2+1=-√2/2
参考:
y=2cos2x-sinx+b
=2*(1-sin^2x)-sinx+b
=-2sin^2x-sinx+2+b
=-2(sinx+1/4)^2+2+b+2*1/16
=-2(sinx+1/4)^2+b+17/8
最大值=b+17/8=9/8
b=-1
y=-2(sinx+1/4)^2+9/8
3π/4≤x≤3π/2
x=3π/4,sinx最大值=1/√2
y最小值=-2(1/√2+1/4)^2+9/8=-√2/2