Question

求助几道离散数学题目（答得好加分）

1.G={1, -1, i, -i}关于普通乘法运算是否构成一个循环群？如果是，请列出所有生成元。
2.n次对称群中周期是奇数的置换是奇置换还是偶置换？
3.设(Z,+)是整数加法群,N=3Z={…,-6,-,0,3,6,…},试求(Z,+)中N的所有陪集。
4.设H为群G的子群，K为G中满足条件aH=Ha的所有元素a作成的集合。证明：K是G的一个包含H的子群，并且H是K的正规子群。
5.写出三次对称群G的所有子群。

Answer 1

1、确实构成循环群——事实上

i^0=1, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1
(-i)^0=1, (-i)^2=-1, (-i)^3=i, (-i)^4=1

但1^2=(-1)^2=1，故i与-i为生成元，而1与-1不是生成元

2、（周期是指什么呢？一个置换的周期为k是不是指这个置换的k次方是单位元而m(m<k)次方时不是单位元呢？下面就按照这种理解方式吧）
（下用a^b表示a的b次方）
周期k为奇数的置换t必为偶置换；事实上，设t的轮换分解式为
t=(a_1 a_2 ... a_p) (b_1 b_2 ... b_q) ... (s_1 s_2 ... s_t)
其中上述轮换两两不交；则对任意正整数m有
t^m = (a_1 a_2 ... a_p)^m * (b_1 b_2 ... b_q)^m * ... * (s_1 s_2 ... s_t)^m
而 t^m 为单位元当且仅当 (a_1 a_2 ... a_p)^m, (b_1 b_2 ... b_q)^m, ..., (s_1 s_2 ... s_t)^m 均为单位元，这又等价于m为p,q,...,t的公倍数，于是t的周期k为p,q,...,t的最小公倍数；但k为奇数，故p,q,...,t必全为奇数，从而 (a_1 a_2 ... a_p), (b_1 b_2 ... b_q), ..., (s_1 s_2 ... s_t) 均为偶置换，进而t(作为这些偶置换的积）也是偶置换

3、（用U表示并集）
Z=N U (1+N) U (2+N)
其中(1+N)={...,-5,-2,1,4,...}, (2+N)={...,-4,-1,2,5,8,...}
N,1+N,2+N这三个集合构成N的所有陪集

4、显然H中任一元素a满足aH=Ha=H，故H包含于K；下验证K为G的子群，只需验证任意a,b属于K，都有a*b^(-1)属于K；事实上，当a,b属于K时
aH=Ha
bH=Hb（两边的集合先左乘以b^(-1)后再右乘b^(-1)后得到Hb^(-1)=b^(-1)H）
故
ab^(-1)H=aHb^(-1)=Hab^(-1)
表明ab^(-1)属于K
最后验证H为K的正规子群。事实上，任意h属于H，k属于K，因
khk^(-1)*H=khH*k^(-1)=kHk^(-1)=Hk*k^(-1)=H
这表明khk^(-1)属于H，从而H为K的正规子群

5、G={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
G首先有平凡子群{(1)}及G；对非平凡子群H，因H的阶数为G的阶数6的约数，故只能为2,3；而2阶群与3阶群都是循环群；
1) 若H为2阶群，则其二阶生成元必为(12),(13),(23)之一，从而H有如下三种可能：
H={(1),(12)}
H={(1),(13)}
H={(1),(23)}
2) 若H为3阶群，则其三阶生成元必为(123),(132)之一，从而
H={(1),(123),(123)^2=(132)}
H={(1),(132),(132)^2=(123)}
（这两种情况是一样的）
综上，H共有四种可能，具体如上

Answer 2

1.G=<i>就行了看看生成元的定义，i可以通过普通乘法形成群，生成元没有要求有逆元，但可以重复出现。
2.注意性质：(i1,i2,i3,...,ik)=(i1,i2)(i1,i3)...(i1,ik)并且(i1,i2,...,ik)^k=(i1,i2,...,ik)如果k是奇数，即置换(i1,i2,...,ik）分解为对换有(k-1)个【(i1,i2)(i1,i3)...(i1,ik)共(k-1)个】
3.Z={N+0;N+1;N+2}，当然你也可以构造函数，然后利用同态基本定理证明。
4.由K的定义，任意的k∈K都有kH=Hk∴如果K是群，则H是K的正规子群。下面证明K是群：取a,b∈K，即aH=Ha,bH=hB,由于a，b都是群G的元。于是(ab)H=a(bH)=a(Hb)=(aH)b=(Ha)b=H(ab)成立，即ab∈K，而且G的幺元e显然也属于K，因为aH=Ha，等式左右均乘a的逆元得：Ha^(-1)=a^(-1)H，所以a^(-1)∈K，K有逆元。 于是K是群。即得。

Answer 3

1、确实构成循环群——事实上
i^0=1,
i^2=-1,
i^3=-i,
i^4=1
(-i)^0=1,
(-i)^2=-1,
(-i)^3=i,
(-i)^4=1
但1^2=(-1)^2=1，故i与-i为生成元，而1与-1不是生成元
2、（周期是指什么呢？一个置换的周期为k是不是指这个置换的k次方是单位元而m(m<k)次方时不是单位元呢？下面就按照这种理解方式吧）
（下用a^b表示a的b次方）
周期k为奇数的置换t必为偶置换；事实上，设t的轮换分解式为
t=(a_1
a_2
...
a_p)
(b_1
b_2
...
b_q)
...
(s_1
s_2
...
s_t)
其中上述轮换两两不交；则对任意正整数m有
t^m
=
(a_1
a_2
...
a_p)^m
*
(b_1
b_2
...
b_q)^m
*
...
*
(s_1
s_2
...
s_t)^m
而
t^m
为单位元当且仅当
(a_1
a_2
...
a_p)^m,
(b_1
b_2
...
b_q)^m,
...,
(s_1
s_2
...
s_t)^m
均为单位元，这又等价于m为p,q,...,t的公倍数，于是t的周期k为p,q,...,t的最小公倍数；但k为奇数，故p,q,...,t必全为奇数，从而
(a_1
a_2
...
a_p),
(b_1
b_2
...
b_q),
...,
(s_1
s_2
...
s_t)
均为偶置换，进而t(作为这些偶置换的积）也是偶置换
3、（用U表示并集）
Z=N
U
(1+N)
U
(2+N)
其中(1+N)={...,-5,-2,1,4,...},
(2+N)={...,-4,-1,2,5,8,...}
N,1+N,2+N这三个集合构成N的所有陪集
4、显然H中任一元素a满足aH=Ha=H，故H包含于K；下验证K为G的子群，只需验证任意a,b属于K，都有a*b^(-1)属于K；事实上，当a,b属于K时
aH=Ha
bH=Hb（两边的集合先左乘以b^(-1)后再右乘b^(-1)后得到Hb^(-1)=b^(-1)H）
故
ab^(-1)H=aHb^(-1)=Hab^(-1)
表明ab^(-1)属于K
最后验证H为K的正规子群。事实上，任意h属于H，k属于K，因
khk^(-1)*H=khH*k^(-1)=kHk^(-1)=Hk*k^(-1)=H
这表明khk^(-1)属于H，从而H为K的正规子群
5、G={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
G首先有平凡子群{(1)}及G；对非平凡子群H，因H的阶数为G的阶数6的约数，故只能为2,3；而2阶群与3阶群都是循环群；
1)
若H为2阶群，则其二阶生成元必为(12),(13),(23)之一，从而H有如下三种可能：
H={(1),(12)}
H={(1),(13)}
H={(1),(23)}
2)
若H为3阶群，则其三阶生成元必为(123),(132)之一，从而
H={(1),(123),(123)^2=(132)}
H={(1),(132),(132)^2=(123)}
（这两种情况是一样的）
综上，H共有四种可能，具体如上