Question

若实数a和b满足a^2+4b^2=1,则2ab/（丨a丨+2丨b丨）的最大值为多少？

我考虑用参数方程，令a=cosθ，b=sinθ(1/2),但是还是做不出来。

Answer 1

求2ab/（丨a丨+2丨b丨）的最大值,不妨设a,b都大于0。
2ab/（丨a丨+2丨b丨）＝2ab/(a+2b),由均值不等式得 a+2b>=2根号（2ab)
原式<=根号（1/2 ab)
a^2+4b^2=1,由均值不等式得
a^2+4b^2>=4ab ab<=1/4
原式<=根号（1/2 *1/4)=根号2 /4

Answer 2

楼上的方法比较好。。

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我知道这个方法比较暴力。。

a=cosθ，b=1/2*sinθ
设S=2ab/（丨a丨+2丨b丨）=sinθcosθ/(|sinθ|+|cosθ|)
当θ∈(0,pi/2)时
S=sin2θ/2根号2*sin(θ+pi/4)
对θ求导
S'=[4根号2cos2θsin(θ+pi/4)-2根号2sin2θcos(θ+pi/4)]/8sin^2(θ+pi/4)
易得θ=pi/4时S'=0
可以验证θ=pi/4时S取到最大值
代入得Smax=根号2/4

好方法还在想。。

Answer 3

2ab/（丨a丨+2丨b丨）
=cosx sinx/(|cosx|+|sinx|)
<=(|cosx|+|sinx|)/2
<=根号((|cosx|^2+|sinx|^2)/2)=根号2/2

Answer 4

令 a=cosθ，2b=sinθ,试试。

你的1/2是在外边。那我等于没说。我在想想。。。。