Question

高数：两类曲面积分的问题！！！

两类曲面积分关系的转化，我只知道：

∫∫Pdydz+Qdxdz+Rdxdy = ∫∫（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）ds

问题是，请告诉我求cosα、cosβ、cosγ的公式，谢谢！我不知道自己有没有抄错，我抄了cosα、cosβ、cosγ的分母都是：根号下（1+Z'x的平方+Z'y的平方），cosα的分子是：正负Z'x，cosβ的分子是：正负Z'y，cosγ的分子是：负正1，可是书上好像没写正负号。这正负号到底要不要加？如果要加，那代表什么？我抄的公式有没有错误？谢谢！

这是我第三次提问了！前两次全被百度删了。气死我了！！！

Answer 1

我的理解曲面积分的侧，一般来说，都是针对特定的一个数轴来说的，对于z轴，有上侧和下侧，对于x轴是前侧和后侧，对于y轴是右侧和左侧。一般在考虑问题时，往往都是选取在曲面上，所有的法向量的侧都相同的，也就是说，如果所有法向量的cosr都可以同时为正（或负），那说取上侧，或者下侧就是没问题的。如果曲面上cosr不可以同时为正或者同时为负，那再说取曲面上侧或者下侧的话就不妥了。
对于闭合曲面，存在内侧和外侧，但是具体要把内外侧转化为，上下侧，前后侧，右左侧中的哪一个，就要看曲面的形状具体情况具体分析了，总之是要转换为这些侧才可以运算的。高斯定理是闭合曲面的外侧，归一法不懂，就不说了。。。

Answer 2

正负号当然是要加的了。。
曲面积分的法线方向问题，如果大于90度，就是负的，小于90度，就是正的
你的公式应该没有错。。学这个已经好几年了，记得不是特别清楚。。但是正负号的问题，我记得很清楚地哈。

Answer 3

(cosα、cosβ、cosγ)是曲面单位法向量
具体有没有负号根据你取得曲面的侧有关系
z=f(x,y)
F(x,y,z)=f(x,y)-z
他的法向量+ -(z'x,z'y,-1) (cosα、cosβ、cosγ)是前面这个法向量单位化得到.
当取正号的时候 z分量上-1说明第二类曲面积分取得下侧,当取负号时说明第二类曲面积分取得上侧

这里涉及到了曲面法向量的内容.你得回头去看相关的内容