Question

三角形abc是等腰直角三角形角bac=90,ab=ac,（1）若d是bc的中点,过d做dm垂直dn

分别交ab，ac于m，n，证dm=dn（2）若dm垂直dn分别和ba，ac延长线交于m，n，问dm与dn有何数量关系

Answer 1

⑴证明：（如图）

连接AD、MN

∵△ABC是等腰直角三角形           AB=AC              ∠A是直角

D是BC中点

∴AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线垂直底边）

∴A、M、D、N四点共圆（对角互补的四边形在同一个圆上）

∴ ∠1=∠2=45°（在同圆中，同弦所对的圆周角相等）

同理∠ 3=∠ 4=45

∴ ∠1=∠ 3

∴DM=DN（在三角形中，等角对等边）

⑵时间关系，明日再做

⑵仍然相等关系

证明：连接AD、MN

∵∠BAC是直角         

∴∠MAN是直角

∠MDN是直角

∴∠MAN=∠MDN=90°

∴A、D、N、M四点共圆（线段两端点在同侧张等角，则线段两端点与两个角的顶点在同一个圆上）

∴∠1=∠2=45°（在同圆中，同弦所对的圆周角相等）

同理   ∠3=∠4                ∠5=∠6

而 ∠3＋∠5=∠ADB=45°（三角形的外角等于不相邻的内角和）

∴∠4 ＋∠6=∠3＋∠5=45°

∴DM=DN（在三角形中等角对等边）