Question

如图所示，AC为圆O的直径，且PA⊥AC，BC是圆O的一条弦，直线PB交直线AC于D，DB除以DP

=DC除以DO=2除以3，求 1.直线PB是圆O切线 2. BC除以AC的值

Answer 1

1）证明：连接OB、OP
∵ 且∠D=∠D
∴ △BDC∽△PDO
∴ ∠DBC=∠DPO
∴ BC∥ OP
∴ ∠BCO=∠POA
∠CBO=∠BOP
∵ OB=OC
∴ ∠O CB=∠CBO
∴ ∠BOP=∠POA
又∵ OB=OA OP=OP
∴ △BOP≌△AOP
∴ ∠PBO=∠PAO
又∵ PA⊥AC
∴ ∠PBO=90°
∴ 直线PB是⊙O的切线

2﹚由（1）知∠BCO =∠POA
所以三角形ABC与三角形PAO相似。（∠ABC=∠PAD=90°）
有OA/OP=BC/AC
设PB=a （a大于0），则 BD=2a
又∵ PA＝PB=a
∴ AD＝2√2a
又∵ BC∥OP
∴ DC／CO=2
∴ DC＝CA=1／2×2√2a＝√2a
∴ OA＝√2／2a
∴ OP＝√6／2a
∴ BC/AC=OA/OP=√3／3

或者
（1）连OB,OP.
因为DB/DP=DC/DO
∴BC∥PO ∴∠OBC=∠POB(内错角)∠OCB=∠POA
因为OA=OB ∴∠OBC=∠OCB
∴∠POA=∠POB 又OA=OB OP=OP
∴△POA≅△POB
∴∠PBO=∠PAO=RT∠
即OB⊥PB ∴直线PB是圆O的切线。

（2）PD是圆O的切线，∴∠DBC=∠DAB(弦切角) 又∠D=∠D
∴△DBC∼△DAB ∴BC/AB=DC/DB
设半径为R, 因为DC/OD=2/3 ∴CD=2R DA=4R
(DB^2)=DC•DA=2R•4R
DB=2√(2)R ∴DC/DB=BC/BA=2R/2√(2)R=1/√(2)
∴(AC^2)=((1K)^2)+((√(2)K)^2 )(设参数K)
∴AC=√(3)K
cos∠BCA=BC/AC=1K/√(3)K=√(3)/3