Question

已知曲线C的方程为:ax²+ay-2ax-4y=0(a≠0,a为常数)

已知曲线C的方程为:ax²+ay-2ax-4y=0(a≠0,a为常数)
（1）判断曲线C的形状；
（2）设曲线C分别与X轴、Y轴交于A、B（A、B不同于原点O），是判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断
【在线等 速度速度 好捉急的嘞】

Answer 1

（1）将曲线C的方程化为(x?a)2+(y?
2
a
)2＝a2+
4
a2
--（2分）
可知曲线C是以点（a，
2
a
）为圆心，以
a2+
4
a2

为半径的圆．-----------------------------（4分）
（2）△AOB的面积S为定值．-------------------------------------------（5分）
证明如下：
在曲线C的方程中令y=0得ax（x-2a）=0，得点A（2a，0），---------------------------（6分）
在曲线C的方程中令x=0得y（ay-4）=0，得点B（0，
4
a
），--------------------------（7分）
∴S=
1
2
|OA||OB|=
1
2
|2a||
4
a
|=4（为定值）．----------------------------------------（9分）
（3）∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，
∴圆心（a，
2
a
）在MN的垂直平分线上，∴
2
a2
=
1
2
，∴a=±2，--------------------（11分）
当a=-2时，圆心坐标为（-2，-1），圆的半径为
5
，
圆心到直线l：y=-2x+4的距离d=
|?4?1?4|

5

=
9