Question

大一高数问题。

半径为R的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜60°，则流出的水量是多少。 答案是
(3根号3/8)πR3. 求过程

Answer 1

过球心O作水面的垂线，垂足为A,过OA作球的截面与水面交于BC,OA与弧BC交于D,
∠OBA=60°，∴AB=OB/2=R/2，OA=√3R/2，AC=(2-√3)R/2,
由球缺体积公式，V=π[(2-√3)R/2]^2*[R-(2-√3)R/6]
=πR^3*(7-4√3)(4+√3)/24
=[(16-9√3)/24]πR^3.
∴流出的水量=[2/3-(16-9√3)/24]πR^3=(3√3/8)πR^3.

Answer 2

采用定积分求解
V=π∫（R*根号3/2,0)y＾2 dx=(3根号3/8)πR3.