Question

大神呀，悬赏不等式证明。

已知：0<a<b<√3
证明：（a²－b²）／﹙a＋3b﹚ ＞ －1/﹙a＋b﹚

还有：已知 √3 <a<b
证明：（a²－b²）／﹙a＋3b﹚ < －1/﹙a＋b﹚

请各位大神看看。O(∩_∩)O谢谢！

Answer 1

（a²－b²）／﹙a＋3b﹚ ＞ －1/﹙a＋b﹚

移项整理得[（a²－b²）﹙a＋b﹚+a+3b]/﹙a＋3b﹚﹙a＋b﹚>0,即相当于证明此不等式成立
在已知条件0<a<b<√3 分母﹙a＋3b﹚（a＋b﹚>0， 分子（a²－b²）﹙a＋b﹚+a+3b>0，故得证。

同理:
在已知条件 √3 <a<b下分母﹙a＋3b﹚（a＋b﹚>0， 分子（a²－b²）﹙a＋b﹚+a+3b<0，故得证。

追问

分子（a²－b²）﹙a＋b﹚+a+3b>0,怎么证得？

追答

以下说法如有不对欢迎指正。
分子可以写为：(a+b)(a²+1-b²)+2b.
问题转化为证明(a+b)(a²+1-b²)+2b>0,即证明2b/(a+b)>b²-a²-1
在已知条件02, b²-a²-1b²-a²-1得证。

ps：只要题目没问题，思路就是我第一次回答的那样。至于怎么证明分子大于零我觉得可以省略掉，因为这道题已经直接给出了a、b的取值范围。

Answer 2

(1)等价于(3-b^2)(a-b)+a(4+a^2-b^2)>0

(2)等价于a(b^2-a^2)+b(b^2-ab)>a+3b
取ab十分接近就不成立 。