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已知AB为⊙O的直径,DC与⊙O相切于点C,AD⊥DC于点D,AD交⊙O于点E。若CD=12,AD=16,
已知AB为⊙O的直径,DC与⊙O相切于点C,AD⊥DC于点D,AD交⊙O于点E。若CD=12,AD=16。(1)求BD的长?(2)求tan∠BDC,tan∠ADB的值。(...
已知AB为⊙O的直径,DC与⊙O相切于点C,AD⊥DC于点D,AD交⊙O于点E。若CD=12,AD=16。
(1)求BD的长? (2)求tan∠BDC,tan∠ADB的值。 (3)求sin∠ABD的值。 (4)延长CO交⊙O于点N,求tan∠ADN的值。 (5)连接BC,求tan∠CBD的值。 展开
(1)求BD的长? (2)求tan∠BDC,tan∠ADB的值。 (3)求sin∠ABD的值。 (4)延长CO交⊙O于点N,求tan∠ADN的值。 (5)连接BC,求tan∠CBD的值。 展开
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1)连接BC,∵DC是切线,由弦切角定理:∠DCA = ∠CBA,且DC^2 = DE·DA,∴DE=9,AE=7
∵AB是直径,∴∠AEB=∠ACB=90°,∴∠DAC=∠CAB,∴△DCA∽△CBA,
∴DA/CA = CA/BA,根据勾股定理,CA = 20,∴直径AB = 400/16 = 25,∵AE=7,∴BE=24
∵DE=9,∴BD = 3√73
2)tan∠ADB = tan∠EDB = BE/DE = 8/3,∵∠AEB=∠ADC=90°∴CD∥BE∴∠BDC = ∠DBE
∴tan∠BDC = tan∠DBE = 3/8
3)根据正弦定理,AD/sin∠ABD = AB/sin∠BDE,∴16/sin∠ABD = 25/(8/√73)
∴sin∠ABD = 128/(25√73)
4)∵DC是切线,∴∠DCN + ∠ADC = 90° + 90° = 180°,∴AD∥CN,∴tan∠ADN = tan∠DNC
= DC/CN = 12/25
5)由勾股定理易得BC = 15,∵∠CBD<∠CBA<∠ACB = 90°,∴cos∠CBD>0,根据正弦定理
BC/sin∠BDC = CD/sin∠CBD,根据2)算得,sin∠BDC = 3/√73,∴sin∠CBD = 12/(5√73)
∵AB是直径,∴∠AEB=∠ACB=90°,∴∠DAC=∠CAB,∴△DCA∽△CBA,
∴DA/CA = CA/BA,根据勾股定理,CA = 20,∴直径AB = 400/16 = 25,∵AE=7,∴BE=24
∵DE=9,∴BD = 3√73
2)tan∠ADB = tan∠EDB = BE/DE = 8/3,∵∠AEB=∠ADC=90°∴CD∥BE∴∠BDC = ∠DBE
∴tan∠BDC = tan∠DBE = 3/8
3)根据正弦定理,AD/sin∠ABD = AB/sin∠BDE,∴16/sin∠ABD = 25/(8/√73)
∴sin∠ABD = 128/(25√73)
4)∵DC是切线,∴∠DCN + ∠ADC = 90° + 90° = 180°,∴AD∥CN,∴tan∠ADN = tan∠DNC
= DC/CN = 12/25
5)由勾股定理易得BC = 15,∵∠CBD<∠CBA<∠ACB = 90°,∴cos∠CBD>0,根据正弦定理
BC/sin∠BDC = CD/sin∠CBD,根据2)算得,sin∠BDC = 3/√73,∴sin∠CBD = 12/(5√73)
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