Question

已知数列｛an｝满足a1=1， a2=2，a(n+2)=(an+an+1)/2，n∈N* （1）令

已知数列｛an｝满足a1=1， a2=2，a(n+2)=(an+an+1)/2，n∈N*
（1）令bn=a(n+1)-an，证明｛bn｝是等比数列。
（2）求｛an｝的通项公式

Answer 1

(1)a(n+2)=(an+a(n+1))/2
a(n+2)-a(n+1)=(an+a(n+1))/2-a(n+1)=-1/2(a(n+1)-an)
即b(n+1)=-1/2bn
所以{bn}为等比数列
(2)b1=a2-a1=1
所以bn=(-1/2)^(n-1)
a(n+1)=an+(-1/2)^(n-1)
an=a(n-1)+(-1/2)^(n-2)
……
a3=a2+(-1/2)
a2=a1+1
用累加法，得an=a1+1+(-1/2)+(-1/2)^2+...+(-1/2)^(n-2)
=1+[1-(-1/2)^(n-1)]/[1-(-1/2)]=5/3-2/3(-1/2)^(n-1)