Question

这个幂级数，我用比值判别法算出来是趋于无穷，发散。可是书上说他用比值判别趋于1该法失效。为什么我算

这个幂级数，我用比值判别法算出来是趋于无穷，发散。可是书上说他用比值判别趋于1该法失效。为什么我算的是无穷

Answer 1

　　首先，该级数非幂级数。也不知你算出什么是无穷？
　　其次，该级数可用比较判别法判别：因
　　　　lim(n→∞)[ln(1+1/n)/(1/n)] = 1，
而级数∑(1/n) 发散，据比较判别法可知原级数发散。

Answer 2

∑<n=1,∞> ln[(n+1)/n]=ln(n+1)-lnn
ρ = lim<n→∞>u<n+1>/u<n>
= lim<n→∞>[ln(n+2)-ln(n+1)]/[ln(n+1)-lnn]
因 lim<x→+∞>[ln(x+2)-ln(x+1)]/[ln(x+1)-lnx] (0/0)
= lim<x→+∞>[1/(x+2)-1/(x+1)]/[1/(x+1)-/x]
= lim<x→+∞>[x(x+1)-x(x+2)]/[x(x+2)-(x+1)(x+2)]
= lim<x→+∞>(-x)/(-x-2) = 1,
则 ρ = lim<n→∞>[ln(n+2)-ln(n+1)]/[ln(n+1)-lnn] = 1.
故比值判别法失效。
该题可用积分判别法：
因 x>1 时 ∫ln[(x+1)/x]dx =∫ln[(x+1)-lnx]dx
= x[ln(x+1)-lnx]-∫x/(x+1)-1]dx
= x[ln(x+1)-lnx]+∫dx/(x+1)
= x[ln(x+1)-lnx]+ln(x+1)+C

则 ∫<1,+∞>ln[(x+1)-lnx]dx
[x[ln(x+1)-lnx]+ln(x+1)]<0,+∞> 发散，
故原级数发散。