Question

在三角形ABC中，a=2,b=3，c=4,能判断三角形ABC的形状吗？要步骤

Answer 1

wangyinchun73　的答案是正确的！下面我把过程描述得详细些，希望你能看明白。
过A作AD⊥BC，垂足为D。
∵∠ACD＝π/4，AD⊥CD，∴AC＝√2CD，∴CD＝AC/√2＝（√6/2）/√2＝√3/2。
明显有：1＞√3/2，∴1＋√3/2＝√3/2＋√3/2＝√3，∴√3/2＞√3－1，∴CD＞√3－1。
∵BC＝√3－1，而CD＞√3－1，∴CD＞BC，这说明点D在CB的延长线上。
由三角形外角定理，有：∠ABC＝∠ADC＋∠CAD＝90°＋∠ACD，∴∠ABC是钝角，
∴△ABC是以∠B为钝角的钝角三角形。

［另解1］
过B作BE⊥BC交直线CA于E。
∵BE⊥BC、∠BCE＝π/4，∴CE＝√2BC＝√2（√3－1）＝√6－√3，又AC＝√6/2，
∴AC－CE＝√6/2－（√6－√3）＝√3－√6/2＝（√3/2）（2－√2）＞0，∴AC＞CE，
∴点E在线段AC上，∴∠ABC＞∠CBE＝90°，∴∠ABC是钝角，
∴△ABC是以∠B为钝角的钝角三角形。

［另解2］
过B作BF⊥AC，垂足为F。
∵BF⊥CF、∠BCF＝π/4，∴BF＝CF＝（√2/2）BC＝（√2/2）（√3－1）＝√6/2－√2/2，
∴AC－CF＝√6/2－（√6/2－√2/2）＝√2/2＞0，∴AC＞CF，∴点F在线段AC上。
∵AF⊥BF，
∴tan∠ABF＝AF/BF＝（AC－CF）/BF＝（√2/2）/（√6/2－√2/2）＝1/（√3－1）＞1。
∵AF⊥BF，∴∠ABF是锐角，而当x为锐角时，y＝tanx是增函数，又tan（π/4）＝1，
∴∠ABF＞π/4，∴∠ABC＝∠ABF＋∠CBF＞π/4＋∠CBF。
由BF⊥CF、∠BCF＝π/4，得：∠CBF＝π/4，∴∠ABF＞π/4＋∠CBF＝π/2，∴∠ABF是钝角。
∴△ABC是以∠B为钝角的钝角三角形。

［另解3］
由余弦定理，计算出AB，再由余弦定理计算出cos∠ABC＜0。［该法计算量大，此处略］

Answer 2