Question

如图,a是圆外一点,oa交圆o于点c,过圆o上一点p做pf垂直oa,垂足为f，直线pf交圆o于点

，角fpc等于角cpa，pa是切线吗？

Answer 1

PA是⊙O的切线

证明：

连接OP

∵OC=OP

∴∠OCP=∠OPC=（180°-∠O）÷2=90°-1/2∠O

∵PF ⊥OA

∴∠PFC=90°

则∠OCP=90°-∠FPC

∴∠FPC=1/2∠O

∵∠FPC=∠CPA 

∴∠O=2∠FPC=∠FPC+∠CPA=∠APF

∵∠A+∠APF=90°

∴∠O+∠A=90°

∴∠OPA=180°-(∠O+∠A)=90°

∴PA是⊙O的切线

【上面证法只是利用圆的半径相等，我再用一种方法】

证明：

∵PF⊥OA

∴弧PC=弧BC（垂径定理）

∴∠O=2∠FPC（同圆内等弧所对的圆心角等于2倍的圆周角）

∵∠APF=∠FPC+∠CPA=2∠FPC

∴∠O=∠APF

∵∠APF+∠A=90°

∴∠O+∠A=90°

∴∠OPA=90°

∴PA是⊙O的切线