Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2，对角线AC和BO相交于点O，等腰直角三角板

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2，对角线AC和BO相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C 上，使三角板绕点C旋转。（1）如图（1），当三角板ECF旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是____，数量关系是____；（2）继续按顺时针旋转三角板，旋转角为α请你在图（2）中画出旋转后的图形，判断（1）中结论是否成立，并说明理由；（3）如图（3），当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，OF= ，求PE的长。



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Answer 1

解：（1）垂直；相等； （2）画图如图（1）（答案不唯一），（1）中结论仍成立证明如下： 过A作AM⊥DC于M，则四边形ABCM为矩形， ∴AM=BC=2，MC=AB=1， ∵tan∠ADC=2， ∴DM=2/2=1， ∴DC=BC， ∵△CEF是等腰直角三角形， ∴∠ECF=90°，CE=CF， ∴∠BCD=∠ECF=90°， ∴∠DCE=∠BCF， ∴△DCE≌△BCF， ∴DE=BF，∠1=∠2， 又∵∠3=∠4， ∴∠5=∠BCD=90°， ∴DE⊥BF， ∴线段DE和BF相等并且互相垂直。
（3）∵ AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴AB/CD=OA/OC=OB/OD， ∵AB=1，CD=2， ∴OA/OC=OB/OD=1/2， 在Rt△ABC中 ∴ ， 同理可求得 ， ∵ ∴ ∵∠1=90°-∠ACD=∠2，∠3=∠OBC=45°， ∴△CPE∽△COB， ∴ ∴ ， ∴ 。