Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率 e= 3 3 ，直线l：y=x+2与以原点为

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率 e= 3 3 ，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A 1 ，A 2 ，点M是椭圆上异于A l ，A 2 的任意一点，设直线MA 1 ，MA 2 的斜率分别为 k M A 1 ， k M A 2 ，证明 k M A 1 ， k M A 2 为定值．

Answer 1

（I）设椭圆的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ∵离心率 e= 3 3 ，∴a 2 =3c 2 ，∴b 2 =2c 2 ∵直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切 ∴b= 2 2 = 2 ∴c 2 =1 ∴a 2 =3 ∴椭圆的方程为 x 2 3 + y 2 2 =1 ； （Ⅱ）证明：由椭圆方程得A 1 （- 3 ，0），A 2 （ 3 ，0）， 设M点坐标（x 0 ，y 0 ），则 x 0 2 3 + y 0 2 2 =1 ∴ y 0 2 = 2 3 (3- x 0 2 ) ∴ k M A 1 ? k M A 2 = y 0 x 0 + 3 × y 0 x 0 - 3 = y 0 2 x 0 2 -3 = 2 3 (3- x 0 2 ) x 0 2 -3 =- 2 3 ∴ k M A 1 ? k M A 2 是定值- 2 3 是定值．