Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若方程f（x）=-(2a+3)29恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x），对任意α，β∈R，求证：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤81．

Answer 1

（I）由题意，f（0）=0，
∴c=0，
则f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b，且f′（1）=0．
即3+2a+b=0
∴b=-2a-3，
∴f′（x）=3x²+2ax-2a-3=3（x-1）（x+

2a+3

3

），
因为当x=1时取得极大值，
所以

2a+3

3

＜-1，即a＜-3；
所以a的取值范围为（-∞，-3）．
（II）由下表：

x	（-∞，1）	1	（1，- 2a+3 3 ）	- 2a+3 3	（-- 2a+3 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	-
f（x）	递增	极大值-a-2	递减	极小值 a+6 27 (2a+3)2	递增

依题意得：

a+6

27

(2a+3)2=-

(2a+3)2

9

或-a-2=-

(2a+3)2

9

，
又由a＜-3解得：a=-9．
所以函数f（x）=x³-9x²+15x．
（III）对任意的实数α，β都有-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，
在区间[-2，2]有：f（-2）=-74，f（2）=2，f（1）=7；
因此f（x）_最大值=7，f（x）_最小值=-74．
所以|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤7-（-74）=81．

Answer 2

解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过坐标原点
∴ （0,0）代入得 c=0
f（1）=1+a +b 取得极大值
f＇（x）=3x²+2ax +b
f＇（1）=3 +2a +b =0
b =-3-2a
f（x）=x3+ax2+bx=x(x²+ax+b )
当x=-a/2时 最值 f（x）=（4b-a²)/2
=（-12-8a-a²)/2
f（x）=-(a²+8a+12)/2
=-[(a+4)²-4]/2
=-(a+4)²/2+ 2
∴
当a=-4时 f（x）的极大值是2