Question

若函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x∈（-2，23）（-2，23）

若函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x∈（-2，23）（-2，23）．

Answer 1

∵f（-x）=（-x）³+3（-x）=-（x³+3x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
又f'（x）=3x²+3＞0，∴f（x）单调递增，
f（mx-2）+f（x）＜0可化为f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）递增知mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，
∴对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，
则

?2x+x?2＜0 2x+x?2＜0

，解得-2＜x＜

2

3

，
故答案为：（-2，

2

3

）．