Question

过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程

过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

设圆x²+y²-6x+5=0的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CM⊥AB，
①当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，则有k_CMk_AB=-1，
∴

y

x?3

×

y

x

＝?1（x≠3，x≠0），
化简得x²+y²-3x=0（x≠3，x≠0），
②当x=3时，y=0，点（3，0）适合题意，
③当x=0时，y=0，点（0，0）不适合题意，
解方程组

x2+y2?3x＝0 x2+y2?6x+5＝0

得x＝

5

3

，y＝±

2

3

5

，
∴点M的轨迹方程是x²+y²-3x=0（

5

3

＜x≤3）．

Answer 2

圆X2+Y2-6X+5=0,
标准方程是(x-3)^2+y^2=4
圆心坐标（3，0）
利用所给条件，找到直线之间的关系，过原点的直线和过弦中点与圆心的直线垂直
设M点的坐标为(X,Y)，中点M在过原点的直线上，所以过原点的直线斜率为k1=y/x
过弦中点与圆心的直线斜率为
k2=（y-0）/（x-3）=y/(x-3)
K1*k2=-1
最后得到x^2-3x+y^2=0,
化标准方程（x-3/2)^2+y^2=9/4

Answer 3

设：M(x，y)，圆x²＋y²－6x＋5=0即是(x－3)²＋y²=9的圆心是C(3，0)，则向量OM垂直向量CM，OM=(x，y)，CM=(x－3，y)，则：OM*CM=(x，y)*(x－3，y)=x(x－3)＋y²=0，即点M的轨迹方程是x²＋y²－3x=0【轨迹在圆x²＋y²－6x＋5=0内部】

Answer 4

解：根据题意：直线AB的斜率必存在，设故可设直线AB的方程是：y=kx，点M的坐标是(x,y)，
令圆x^2+y^2－6x＋5＝0的圆心是C，则：CM⊥AB，C点坐标是（3,0）
所以直线CM的斜率满足：（y-0)/(x-3)=-1/k，化简得：x-3=ky，
由y=kx和x-3=ky消去k得：x-3=y^2/x，化简得：x^2-3x+y^2=0
故：所求的轨迹方程是：x^2-3x+y^2=0