Question

过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

解题思路：根据圆的特殊性，设圆心为C，则有CM⊥AB，当斜率存在时，k CMk AB=-1，斜率不存在时加以验证．

设圆x2+y2-6x+5=0的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CM⊥AB，
①当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，则有kCMkAB=-1，
∴[y/x−3×
y
x＝−1（x≠3，x≠0），
化简得x2+y2-3x=0（x≠3，x≠0），
②当x=3时，y=0，点（3，0）适合题意，
③当x=0时，y=0，点（0，0）不适合题意，
解方程组

x2+y2−3x＝0
x2+y2−6x+5＝0]得x＝
5
3，y＝±
2
3
5，
∴点M的轨迹方程是x2+y2-3x=0（
5
3＜x≤3）．

点评：
本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题主要考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解．