Question

若数列{an}的每一项都不等于零，且对于任意的n∈N*，都有an+2an=q（q为常数），则称数列{an}为“类等比数

若数列{an}的每一项都不等于零，且对于任意的n∈N*，都有an+2an=q（q为常数），则称数列{an}为“类等比数列”．已知数列{bn}满足：b1=b（b＞0），对于任意的n∈N*，都有bn?bn+1=-9×28-n．（1）求证：数列{bn}是“类等比数列”；（2）若{|bn|}是单调递减数列，求实数b的取值范围；（3）若b=2，求数列{bn}的前n项之积取最大值时n的值．

Answer 1

解答：（1）证明：因为b_n?b_n+1=-9×2^8-n，所以b_n+1?b_n+2=-9×2^7-n，
所以

bn+2

bn

＝

1

2

，
所以，数列{b_n}是“类等比数列”． …（4分）
（2）解：由b₁=b，b₁?b₂=-9×2⁷，得b₂=-

9×27

b

 …（5分）
所以b_n=

b×( 1 2 )n?1，(n是奇数) ? 9×27 b ×( 1 2 )n?2，(n是偶数)

…（7分）
因为{|b_n|}递减，所以|b_2k-1|＞|b_2k|＞|b_2k+1|，…（8分）
解得：24

2

＜b＜48．…（10分）
（3）解：记数列{b_n}的前n项之积为T_n．
当b=2时，b_n=

2×( 1 2 )n?1，(n是奇数) ?9×26×( 1 2 )n?2，(n是偶数)

，
由{b_n}的通项公式可知．当n=4k-2或n=4k-1（k∈N^*）时，T_n＜0，…（12分）
又因为0＜b_4k+1＜1，所以T_4k+1=b_4k+1T_4k＜T_4k，
因而T_n取最大值时，n=4k（k∈N^*）…（14分）
当n为奇数时，令|b_n?b_n+1|＜1得9×27＜(

2

)2n?2，所以n≥13，…（16分）
因而|b₁?b₂|＞1，…，|b₁₁?b₁₂|＞1，|b₁₃?b₁₄|＜1，|b₁₅?b₁₆|＜1，…
所以|T₂|＜|T₄|＜…|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞，…．
因而，当n=12时，T_n取最大值．…（18分）