Question

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1，延长A 1 C 1 至点P，使C 1 P=A 1 C 1

如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1，延长A 1 C 1 至点P，使C 1 P=A 1 C 1 ，连接AP交棱CC 1 于D。 （Ⅰ）求证：PB 1 ∥平面BDA 1 ；（Ⅱ）求二面角A-A 1 D-B的平面角的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）连结AB 1 与BA 1 交于点O，连结OD， ∵C 1 D∥平面AA 1 ，A 1 C 1 ∥AP， ∴AD=PD，又AO=B 1 O， ∴OD∥PB 1 ， 又OD 面BDA 1 ，PB 1 面BDA 1 ， ∴PB 1 ∥平面BDA 1 ；
（Ⅱ）过A作AE⊥DA 1 于点E，连结BE ∵BA⊥CA，BA⊥AA 1 ，且AA 1 ∩AC=A， ∴BA⊥平面AA 1 C 1 C 由三垂线定理可知BE⊥DA 1 ∴∠BEA为二面角A-A 1 D-B的平面角 在Rt△A 1 C 1 D中， 又 ∴ 在Rt△BAE中， ， 故二面角A-A 1 D-B的平面角的余弦值为 。