Question

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l 1 、l 2 ，经过右焦点F垂直于l 1 的直线分别交l 1

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l 1 、l 2 ，经过右焦点F垂直于l 1 的直线分别交l 1 、l 2 于A、B两点。已知 成等差数列，且 与 同向。（1）求双曲线的离心率； （2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。

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Answer 1

解：（1）设双曲线方程为 右焦点为F（c，0）（c>0），则 不妨设l 1 ：bx-ay=0，l 2 ：bx+ay=0， 则 因为 所以 于是得 又 同向 故 所以 解得 （舍去） 因此 所以双曲线的离心率 。 （2）由a=2b知，双曲线的方程可化为   ① 由l 1 的斜率为 知，直线AB的方程为  ② 将②代入①并化简，得 设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），则   ③ AB被双曲线所截得的线段长  ④ 将③代入④，并化简得 而由已知l=4，故b=3，a=6 所以双曲线的方程为 。