Question

已知数列{a n }满足： ，a n a n+1 ＜0（n≥1）；数列{b n }满足：b n =a n+1 2 -a n 2 （n≥1），(Ⅰ

已知数列{a n }满足： ，a n a n+1 ＜0（n≥1）；数列{b n }满足：b n =a n+1 2 -a n 2 （n≥1），(Ⅰ)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(Ⅱ)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．

Answer 1

(Ⅰ)解：由题意可知， ， 令 ，则 ， 又 ， 则数列{c n }是首项为 ，公比为 的等比数列， 即 ，故 ， 又 ， 故 ， 。 (Ⅱ)证明：用反证法证明， 假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r＜s＜t)按某种顺序成等差数列， 由于数列{b n }是首项为 ，公比为 的等比数列， 于是有b r ＞b s ＞b t ，则只可能有2b r =b s +b t 成立， ∴ ， 两边同乘3 t-1 2 1-r ，化简得3 t-r +2 t-r =2·2 s-r 3 t-s ， 由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾； 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列。