Question

已知数列{a n }满足： ，a n a n+1 ＜0（n≥1），数列{b n }满足：b n =a n+1 2 ﹣a n 2 （n≥1）．（

已知数列{a n }满足： ，a n a n+1 ＜0（n≥1），数列{b n }满足：b n =a n+1 2 ﹣a n 2 （n≥1）．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式（2）证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．

Answer 1

解：（1）由题意可知， 令c n =1﹣a n 2 ，则 又 ， 则数列{c n }是首项为 ，公比为 的等比数列， 即 ， 故 ， 又 ，a n a n+1 ＜0 故 （2）假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t （r＜s＜t）按某种顺序成等差数列， 由于数列{b n }是首项为 ，公比为 的等比数列， 于是有2b s =b r +b t 成立，则只有可能有2b r =b s +b t 成立， ∴ ， 由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．