Question

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+12）2+（c-3）2的取值范围是（　　）A．（372，5）B．（5，5）C．（374，25）D．（5，25）

Answer 1

解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函数f（x）在x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，
∴f′（x）=3x²+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，
∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＜0，
即

c＞0 3+2b+c＜0 12+4b+c＞0

，
在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图，
（b+

1

2

）²+（c-3）²表示点A（-

1

2

，3）与可行域内的点连线的距离的平方，
点A（-

1

2

，3）到直线3+2b+c=0的距离为

|?1+3+3|

5

=

5

，
由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为（-4.5，6），与点A（-

1

2

，3）的距离为5，
∴（b+

1

2

）²+（c-3）²的取值范围是（5，25），
故选：D．