Question

已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；（2

已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期．（3）地球半径为R，质量为M，引力常量为G，若考虑地球自转，自转周期为T，求质量为m的人站在赤道上受到的支持力．

Answer 1

（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力定律，
物体在地球表面附近满足

GMm

R2

=mg，
第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即

GMm

R2

=m

V2

R

，
联立解得：V=

gR

．
（2）根据卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力得：

GMm

r2

＝m

4π2

T2

r，r=R+h
联立解得：T=2π

(R+h)3 gR2

（3）质量为m的人站在赤道上受到重力和支持力，处于平衡状态，
质量为m的人站在赤道上受到的万有引力F=

GMm

R2

，
若考虑地球自转，自转周期为T，质量为m的人站在赤道上需要的向心力F_向=

4π2R

T2

，
所以F=

GMm

R2

=mg+F_向，
质量为m的人站在赤道上受到的支持力F_N=mg=

GMm

R2

-

4π2R

T2

，
答：（1）第一宇宙速度v₁的表达式是

gR

；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，卫星的运行周期是2π

(R+h)3 gR2

．
（3）质量为m的人站在赤道上受到的支持力是

GMm

R2

-

4π2R

T2

．