Question

已知函数f（x）=mx+1nx+12（m，n是常数），且f（1）=2，f（2）=114．（1）求m，n的值；（2）当x∈[1，+∞

已知函数f（x）=mx+1nx+12（m，n是常数），且f（1）=2，f（2）=114．（1）求m，n的值；（2）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；（3）若不等式f（1+2x2）＞f（x2-2x+4）成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）∵f(1)＝m+

1

n

+

1

2

＝2f(2)＝2m+

1

2n

+

1

2

＝

11

4

，
∴

m＝1 n＝2

．
（2）结论：f（x）在[1，+∞）上单调递增．下面证明．
证明：设1≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

2x1

+

1

2

?(x2+

1

2x2

+

1

2

)
=(x1?x2)(1?

1

2x1x2

)
=(x1?x2)(

2x1x2?1

2x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴2x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增．
（3）∵1+2x²≥1，x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，
∴只须1+2x²＞x²-2x+4，
∴x²+2x-3＞0，
∴x＜-3或x＞1．
∴实数x的取值范围是：x＜-3或x＞1．