Question

已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．若对满足题设条件的任意b，c

已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，则M的最小值为______．

Answer 1

f′（x）=2x+b，由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，
所以（b-2）²-4（c-b）≤0，从而c≥

b2

4

+1，
于是c≥1，且c≥2

b 4 ×1

=|b|=|b|，
当c＞|b|时，有M≥

f(c)?f(b)

c2?b2

=

c2?b2+bc?b2

c2?b2

=

c+2b

b+c

，
令t=

b

c

，则-1＜t＜1，

c+2b

b+c

＝2?

1

t+1

，
而函数g（t）=2-

1

1+t

（-1＜t＜1）的值域是（-∞，

3

2

）；
因此，当c＞|b|时，M的取值集合为[

3

2

，+∞）；
当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2，此时f（c）-f（b）=-8或0，
c²-b²=0，从而f（c）-f（b）≤

3

2

（c²-b²）恒成立；
综上所述，M的最小值为

3

2

．
故答案为：

3

2

．