Question

已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE = BD，F为DE的中点，连结AF、CF． （1）若AB = 3，AD = 4，求CF的长

已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE = BD，F为DE的中点，连结AF、CF． （1）若AB = 3，AD = 4，求CF的长；（2）求证：∠ADB = 2∠DAF．

Answer 1

（1） ；（2）连接BF，由BE=BD，EF=DF可证得∠DBF=∠EBF，再由CF= DE=DF即可证得∠DCF=∠FDC，从而可得∠ADF=BCF，再结合AD=BC即可证得△ADF≌△BCF，再根据全等三角形的性质即可作出判断.

试题分析：（1）根据矩形的性质可得 ，再根据个定理即可求的BD的长，从而可以求得BE、CE的长，再根据勾股定理即可求得DE的长，最后由F为DE的中点即可求得结果； （2）连接BF，由BE=BD，EF=DF可证得∠DBF=∠EBF，再由CF= DE=DF即可证得∠DCF=∠FDC，从而可得∠ADF=BCF，再结合AD=BC即可证得△ADF≌△BCF，再根据全等三角形的性质即可作出判断. （1）∵因为四边形ABCD是矩形 ∴ 在RT△ABD中， ∴ ， ∴ ∵F是DE的中点 ∴ ； （2）连接BF ∵BE=BD，EF=DF ∴∠DBF=∠EBF 又∵CF= DE=DF ∴∠DCF=∠FDC ∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF 即∠ADF=BCF 又∵AD=BC ∴△ADF≌△BCF ∴∠DAF=∠FBC= ∠DBE ∵AD∥BC ∴∠ADB=∠DBE ∴∠ADB=2∠DAF． 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．