Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=90°，求证：CA+CB= 2 CD

如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=90°，求证：CA+CB= 2 CD．

Answer 1

证明：连接AD，BD，过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N， ∵AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D， ∴∠ACD=∠BCD= 1 2 ∠ACB=45°， ∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD， 在Rt△ACM中，CM= 2 2 CA，在Rt△BCN中，CN= 2 2 CB， ∴CM+CN= 2 2 （CA+CB）， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADM+∠BDN=90°， 又∵∠BDN+∠DBN=90°， ∴∠ADM=∠DBN， 在△ADM与△BDN中， ∠ADM=∠DBN ∠AMD=∠DNB=90° AD=BD ， ∴△ADM≌△BDN（AAS）， ∴DN=AM， 又∵AM=CM（等腰直角三角形两直角边相等）， ∴CM=DN， ∴CD=CN+DN=CN+CM= 2 2 （CA+CB）， ∴CA+CB= 2 CD．