Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求二面角D-CB1-B的大小．

Answer 1

解：（1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5．
因为AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．…（2分）
又AC⊥CC₁，且BC∩C₁C=，
∴AC⊥平面BCC₁．…（4分）
又BC₁?平面BCC₁，
∴AC⊥BC₁．．…（5分）
（2）取BC中点E，过D作DF⊥B₁C于F，连接EF．
则D是AB中点，
∴DE∥AC．
又AC⊥平面BB₁C₁C，
∴DE⊥平面BB₁C₁C，
又因为DF⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．
∴∠EFD是二面角D-B₁C-B的平面角．…（8分）
在△DEF中，求得DE＝

3

2

，EF＝

3×4

5×2

＝

6

5

．
∴tan∠EFD＝

DE

EF

＝

5

4

．
∴二面角D-B₁C-B的大小为arctan

5

4

．…（12分）