Question

设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有?Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy＝0，其中函数f（x）

设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有?Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy＝0，其中函数f（x）在（0，+∞）内具有连续的一阶导数，且limx→0+f(x)＝1，求f（x）．

Answer 1

对于任意的光滑有向封闭曲面S，设Ω为其所围区域，
利用高斯公式可得，
0=

?

S

xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy
=±

?

Ω

(xf′(x)+f(x)?xf(x)?e2x)dxdydz．
由S的任意性，可得
xf′（x）+f（x）-xf（x）-e^2x=0，（x＞0）．
即
f′（x）+(

1

x

?1)f(x)=

1

x

e2x，（x＞0）． （*）
利用分离变量法可得，齐次方程f′（x）+(

1

x

?1)f(x)=0 的通解为
f（x）=

Cex

x

．
利用常数变异法，设f(x)＝

C(x)ex

x

，代入（*）中整理可得，
C′（x）=e^x，
从而 C（x）=e^x+C，
f（x）=

ex

x

(ex+C)，（x＞0）．
因为

lim

x→0+

f(x)＝1，
即 

lim

x→0+

ex

x

(ex+C)=

lim

x→0+

ex(ex+C)

x

=1，
所以

lim

x→0+

ex(ex+C)=0，
即 1+C=0．
所以 C=-1，
f（x）=

ex

x

(ex?1)．