Question

设空间一光滑曲面S的方程为F（x，y，z）=0，P0（x0，y0，z0）为曲面S外的一点．证明：若S上的点Q使得线段

设空间一光滑曲面S的方程为F（x，y，z）=0，P0（x0，y0，z0）为曲面S外的一点．证明：若S上的点Q使得线段P0Q是P0与S上任意一点连线的最短线段，则向量P0Q必与曲面S在该点的切平面垂直．

Answer 1

证明；令f（x，y，z）=d²=(x?x0)2+(y?y0)2+(z?z0)2+λF（x，y，z），
要使S上的点Q使得线段P₀Q是P₀与S上任意一点连线的最短线段，F（x，y，z）是光滑曲面．
又根据常识分析知，f（x，y，z）在Q处取得极值点就是最值点．
用拉格朗日乘数法，

?f

?x

＝2(x?x0)+λ

?F

?x

＝0①

?f

?y

＝2(y?y0)+λ

?F

?y

＝0②

?f

?z

＝2(z?z0)+λ

?F

?z

＝0③

?f

?λ

＝F(x，y，z)＝0  ④
可推出

x?x0＝? λ 2 ?F ?x   y?y0＝? λ 2 ?F ?y z?z0═ λ 2 ?F ?z

则

P0Q

＝(x?x0，y?y0，z?z0)
=?

λ

2

(

?F

?x

，

?F

?y

，

?F

?z

)