已知函数f(x)=x+mx+2(m为实常数).(Ⅰ)若函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试用函数单调性
已知函数f(x)=x+mx+2(m为实常数).(Ⅰ)若函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试用函数单调性的定义求实数m的取值范围;(Ⅱ)设m<0,若不等式f(x...
已知函数f(x)=x+mx+2(m为实常数).(Ⅰ)若函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试用函数单调性的定义求实数m的取值范围;(Ⅱ)设m<0,若不等式f(x)≤kx在x∈[12,1]有解,求k的取值范围.
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(Ⅰ)由题意,任取x1、x2∈[2,+∞),且x1<x2,
则f(x2)?f(x1)=x2+
+2?(x1+
+2)=(x2?x1)?
>0,…(2分)
因为x2-x1>0,x1x2>0,所以x1x2-m>0,即m<x1x2,…(4分)
由x2>x1≥2,得x1x2>4,所以m≤4.所以,m的取值范围是(-∞,4].…(6分)
(Ⅱ)由f(x)≤kx,得x+
+2≤kx,
因为x∈[
, 1],所以k≥
+
+1,…(7分)
令t=
,则t∈[1,2],所以k≥mt2+2t+1,令g(t)=mt2+2t+1,t∈[1,2],
于是,要使原不等式在x∈[
, 1]有解,当且仅当k≥g(t)min(t∈[1,2]). …(9分)
因为m<0,所以g(t)=m(t+
)2+1?
图象开口向下,对称轴为直线t=?
>0,
因为t∈[1,2],故当0<?
≤
,即m≤?
时,g(t)min=g(2)=4m+5;
当?
>
,即?
<m<0时,g(t)min=g(1)=m+3. …(13分)
综上,当m≤?
时,k∈[4m+5,+∞);
当?
<m<0时,k∈[m+3,+∞). …(14分)
则f(x2)?f(x1)=x2+
m |
x2 |
m |
x1 |
x1x2?m |
x1x2 |
因为x2-x1>0,x1x2>0,所以x1x2-m>0,即m<x1x2,…(4分)
由x2>x1≥2,得x1x2>4,所以m≤4.所以,m的取值范围是(-∞,4].…(6分)
(Ⅱ)由f(x)≤kx,得x+
m |
x |
因为x∈[
1 |
2 |
m |
x2 |
2 |
x |
令t=
1 |
x |
于是,要使原不等式在x∈[
1 |
2 |
因为m<0,所以g(t)=m(t+
1 |
m |
1 |
m |
1 |
m |
因为t∈[1,2],故当0<?
1 |
m |
3 |
2 |
2 |
3 |
当?
1 |
m |
3 |
2 |
2 |
3 |
综上,当m≤?
2 |
3 |
当?
2 |
3 |
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