Question

如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）判断

如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

Answer 1

（1）直线DE与⊙O相切；（2）4

试题分析：1）直线DE与⊙O相切．   理由如下： 连接OD． ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠OAD． ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD． ∴∠ODA＝EAD． ∴EA∥OD．   ∵DE⊥EA， ∴DE⊥OD． 又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切． （2）方法一： 如图1，作DF⊥AB，垂足为F． ∴∠DFA＝∠DEA＝90°． ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△EAD≌△FAD．   ∴AF＝AE＝8，DF＝DE．  ∵OA＝OD＝5，∴OF＝3． 在Rt△DOF中，DF＝ ＝4． ∴DE＝DF＝4．  方法二： 如图2，连接DB．        ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠ADB＝∠AED． ∵∠EAD＝∠DAB， ∴△EAD∽△DAB． ∴ ． 即 ．解得 ． 在Rt△ADE中， ＝4．  方法三： 如图3，作OF⊥AD，垂足为F． ∴AF＝ AD，∠AFO＝∠AED． ∵∠EAD＝∠FAO， ∴△EAD∽△FAO． ∴ 即 ．解得 ． 在Rt△ADE中，DE＝ ＝4 点评：本题考查圆与直线相切及三角形全等及相似的知识，会判断圆与直线相切及三角形全等及相似的知识是解决本题的关键，属中等难度的题

Answer 2

http://www.mofangge.com/html/qDetail/02/g3/201112/01zkg302268288.html