Question

数学课上，老师提出：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点

数学课上，老师提出：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x 2 的图象于点C和D，直 线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为x C 、x D ，点H的纵坐标为y H ．同学发现两个结论：①S △CMD ：S 梯形ABMC =2：3 ②数值相等关系：x C ?x D =-y H （1）请你验证结论①和结论②成立；（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x 2 ”改为“y=ax 2 （a＞0）”，其他条件不变，那么x C 、x D 与y H 有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）

Answer 1

（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4）， 由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x， 故点M的坐标为（2，2）， 所以S △CMD =1，S 梯形ABMC = 3 2 所以S △CMD ：S 梯形ABMC =2：3， 即结论①成立． 设直线CD的函数解析式为y=kx+b， 则 k+b=1 2k+b=4 ， 解得 k=3 b=-2 所以直线CD的函数解析式为y=3x-2． 由上述可得，点H的坐标为（0，-2），y H =-2 因为x C ?x D =2， 所以x C ?x D =-y H ， 即结论②成立； （2）（1）的结论仍然成立． 理由：当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2）， 由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx， 故点M的坐标为（2t，2t2）， 所以S △CMD =t3，S 梯形ABMC = 3 2 t3． 所以S △CMD ：S 梯形ABMC =2：3， 即结论①成立． 设直线CD的函数解析式为y=kx+b， 则 tk+b= t 2 2tk+b=4 t 2 ， 解得 k=3t b=-2 t 2 所以直线CD的函数解析式为y=3tx-2t 2 ； 由上述可得，点H的坐标为（0，-2t2），y H =-2t 2 因为x C ?x D =2t 2 ， 所以x C ?x D =-y H ， 即结论②成立； （3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax 2 （a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at 2 ），点D坐标为（2t，4at 2 ）， 设直线CD的解析式为y=kx+b， 则： tk+b=a t 2 2tk+b=4a t 2 ， 解得 k=3at b=-2a t 2 所以直线CD的函数解析式为y=3atx-2at 2 ，则点H的坐标为（0，-2at 2 ），y H =-2at 2 ． 因为x C ?x D =2t 2 ， 所以x C ?x D =- 1 a y H ．