Question

已知定义域为R的函数f（x）=?2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求a，b的值； （2）判断函...

已知定义域为R的函数f（x）=?2x+b2x+1+a是奇函数．（1）求a，b的值； （2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）因为f（x）为R上的奇函数，
所以f（0）=0，即

?1+b

2+a

=0，解得b=1，
由f（-1）=-f（1），得

?2?1+1

20+a

＝?

?2+1

22+a

，解得a=2，
所以a=2，b=1；
（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：
由（1）知f（x）=

?2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-

1

2

+

1

2x1+1

）-（-

1

2

+

1

2x2+1

）=

2x2?2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以2x2?2x1＞0，2x1+1＞0，2x1+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）为减函数；
（3）因为f（x）为奇函数，所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化为f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
又由（2）知f（x）为减函数，所以t²-2t＞k-2t²，即3t²-2t＞k恒成立，
而3t²-2t=3(t?

1

3

)2-

1

3

≥?

1

3

，
所以k＜?

1

3

．