Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A．求证：BD=2CD

如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A．求证：BD=2CD．

Answer 1

证明：作DO∥AB交AC于O．
则由AB=AC易知OD=OC，且∠DOC=∠BAC=2∠CED，
所以O为△EDC的外心，
取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF=OC=OD，∠ACE=∠ADF．
所以△ACE∽△ADF，即有

AD

AC

=

AF

AE

．
再由DO∥AB，∠ADO=∠BAE，
∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB，
所以△ADO∽△ABE，
即得

OD

AE

=

AD

AB

=

AD

AC

=

AF

AE

．
故AF=OD=OC=

1

2

CF，从而AO=2OC．
由DO∥AB，得：BD=2CD．