Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

Answer 1

解：（1）BD=DC．连接AD， ∵AB是直径，∴∠ADB=90°， ∵AB=AC，∴BD=DC； （2）∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴ = ， ∴BD=DE，∴BD=DE=DC， ∴∠DEC=∠DCE， ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30° ∴∠DCE=∠ABC= （180°﹣30°）=75°， ∵∠DEC=75° ∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30° ∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°， ∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45° ∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°； （3）证明：设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP=90° 在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴ = ， 又∵ = = ，∴ = ，∴ = ， 又∵∠AGO=∠CGP∴△AOG∽△CPG， ∴∠GPC=∠AOG=90°，∴CP是⊙O的切线）