Question

已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=14°，则∠BOE= _________ ；若∠COF

已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=14°，则∠BOE= _________ ；若∠COF=n°，则∠BOE= _________ ，∠BOE与∠COF的数量关系为 _________ ；（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE， ∴∠AOE=2∠EOF， ∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE， ∴2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE， 而∠AOB=160°，∠COE=80°， ∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE， ∴∠BOE=2∠COF， 当∠COF=14°时，∠BOE=28°； 当∠COF=n°时，∠BOE=2n°， 故答案为28°；2n°； ∠BOE=2∠COF． （2）∠BOE=2∠COF仍然成立． 理由如下：∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE， ∴∠AOE=2∠EOF， ∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE， ∴2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE， 而∠AOB=160°，∠COE=80°， ∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE， ∴∠BOE=2∠COF； （3）存在．设∠AOF=∠EOF=2x， ∵∠DOF=3∠DOE， ∴∠DOE=x，而∠BOD为直角， ∴2x+2x+x+90°=160°， 解得x=14°， ∴∠BOE=90°+x=104°， ∴∠COF= ×104 °=52 °（满足∠COF+∠FOE=∠COE=80 °）．