Question

（2014?鄄城县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，点E为AB的中点，点P

（2014?鄄城县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，点E为AB的中点，点P是⊙O上一点，过点P作PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．（1）试判断ED与⊙O的位置关系并说明理由．（2）连接CP，若CF=1，CP=2，sinA=45，求⊙O的直径BC．

Answer 1

解：（1）ED与⊙O相切．
理由：连接DO，
∵BC为直径，
∴△BDC为直角三角形，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
在Rt△ADB中，E为AB中点，
∴DE=BE，
∴∠ABD=∠EDB，
∵∠OBD+∠ABD=90°，
∴ED是⊙O的切线；

（2）∵PF⊥BC，
∴∠FPC=∠PDC，
又∵∠PCF为公共角，
∴△PCF∽△DCP，
∴

PC

DC

=

CF

CP

，
∴CD=

PC2

CF

，
又∵CF=1，CP=2，
∴CD=4，
∵sin∠DBC=sinA=

4

5

，
∴

DC

BC

=

4

5

，
即

4

BC

=

4

5

，
解得：BC=5．